Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 1.05 & 1.1 1.05 & 0.9 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1.05 & 1.1 \\ 1.05 & 0.9 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

[\begin{matrix} 1.05 & 1.1 1.05 & 0.9 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1.05 & 1.1 \\ 1.05 & 0.9 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

2 \times 2

$2 \times 2$ und die zweite Matrix ist

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{matrix} 1.05 x + 1.1 y 1.05 x + 0.9 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1.05 x + 1.1 y \\ 1.05 x + 0.9 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1.05 x + 1.1 y 1.05 x + 0.9 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1.05 x + 1.1 y \\ 1.05 x + 0.9 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 2

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

1.05 x + 1.1 y = 1

$1.05 x + 1.1 y = 1$

1.05 x + 0.9 y = 1

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in

1.05 x + 1.1 y = 1

$1.05 x + 1.1 y = 1$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere

1.1 y

$1.1 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

1.05 x = 1 - 1.1 y

$1.05 x = 1 - 1.1 y$

1.05 x + 0.9 y = 1

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in

1.05 x = 1 - 1.1 y

$1.05 x = 1 - 1.1 y$ durch

1.05

$1.05$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in

1.05 x = 1 - 1.1 y

$1.05 x = 1 - 1.1 y$ durch

1.05

$1.05$ .

\frac{1.05 x}{1.05} = \frac{1}{1.05} + \frac{- 1.1 y}{1.05}

$\frac{1.05 x}{1.05} = \frac{1}{1.05} + \frac{- 1.1 y}{1.05}$

1.05 x + 0.9 y = 1

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

1.05

$1.05$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1.05 x}{1.05} = \frac{1}{1.05} + \frac{- 1.1 y}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{1}{1.05} + \frac{- 1.1 y}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

$x = \frac{1}{1.05} + \frac{- 1.1 y}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

$x = \frac{1}{1.05} + \frac{- 1.1 y}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Dividiere

$1$ durch

$1.05$ .

$x = 0.\overline{952380} + \frac{- 1.1 y}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 0.\overline{952380} - \frac{1.1 y}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Faktorisiere

$1.1$ aus

$1.1 y$ heraus.

$x = 0.\overline{952380} - \frac{1.1 (y)}{1.05}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Faktorisiere

$1.05$ aus

$1.05$ heraus.

$x = 0.\overline{952380} - \frac{1.1 (y)}{1.05 (1)}$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.5

Separiere Brüche.

$x = 0.\overline{952380} - (\frac{1.1}{1.05} \cdot \frac{y}{1})$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.6

Dividiere

$1.1$ durch

$1.05$ .

$x = 0.\overline{952380} - (1.\overline{047619} (\frac{y}{1}))$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.7

Dividiere

$y$ durch

$1$ .

$x = 0.\overline{952380} - (1.\overline{047619} y)$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.8

Mutltipliziere

$1.\overline{047619}$ mit

$- 1$ .

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1.05 x + 0.9 y = 1$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von

$x$ durch

$0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle

$x$ in

$1.05 x + 0.9 y = 1$ durch

$0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$ .

$1.05 (0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y) + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache

$1.05 (0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y) + 0.9 y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1.05 \cdot 0.\overline{952380} + 1.05 (- 1.\overline{047619} y) + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere

$1.05$ mit

$0.\overline{952380}$ .

$1 + 1.05 (- 1.\overline{047619} y) + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere

$- 1.\overline{047619}$ mit

$1.05$ .

$1 - 1.1 y + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1 - 1.1 y + 0.9 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere

$- 1.1 y$ und

$0.9 y$ .

$1 - 0.2 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1 - 0.2 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1 - 0.2 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$1 - 0.2 y = 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.3

Löse in

$1 - 0.2 y = 1$ nach

$y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 0.2 y = 1 - 1$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$- 0.2 y = 0$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$- 0.2 y = 0$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in

$- 0.2 y = 0$ durch

$- 0.2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 0.2 y = 0$ durch

$- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 y}{- 0.2} = \frac{0}{- 0.2}$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 0.2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.2 y}{- 0.2} = \frac{0}{- 0.2}$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere

$y$ durch

$1$ .

$y = \frac{0}{- 0.2}$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$y = \frac{0}{- 0.2}$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$y = \frac{0}{- 0.2}$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere

$0$ durch

$- 0.2$ .

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von

$y$ durch

$0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle

$y$ in

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} y$ durch

$0$ .

$x = 0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} \cdot 0$

$y = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache

$0.\overline{952380} - 1.\overline{047619} \cdot 0$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1.\overline{047619}$ mit

$0$ .

$x = 0.\overline{952380} + 0$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere

$0.\overline{952380}$ und

$0$ .

$x = 0.\overline{952380}$

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380}$

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380}$

$y = 0$

$x = 0.\overline{952380}$

$y = 0$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.\overline{952380}, y = 0$